Kopfrechnen & Tricks

Welche Tricks kennt ihr eigentlich zum Thema Kopfrechnen?

Wie ich auf das Thema komme? Bin neulich per Zufall auf ein paar Internetseiten gestoßen mit dem Thema "Weltmeisterschaft im Kopfrechnen".

Unter anderem gab es da so hübsche Aufgaben wie zehn zehnstellige Zahlen im Kopf zu addieren. Zwischenergebnisse dürfen nicht aufgeschrieben werden, oder auch zwei achtstellige Zahlen im Kopf miteinander zu multiplizieren.

Ein Trick den ich kenne bezieht sich auf Uhrzeiten addieren:

1 h 45 min
2 h 35 min
=======
145
+235
=======
380 und am Ende 40 hinzuzählen = 420

sind also 4 h 20

Jetzt seid ihr dran.

Wenn man eine zweistellige Zahl mit 11 multiplizieren will, geht das recht einfach:

Beispiel: 43 x 11 = ?

Das Ergebnis erhält man, indem man die erste Ziffer an den Anfang und die zweite Ziffer ans Ende stellt. Zwischenrein kommt die Quersumme der Zahl, hier also 7.

Damit erhält man dann: 43 x 11 = 473

Für 3-stellige Zahlen geht das auch so ähnlich, aber da gibt's dann leichtere und schnellere Möglichkeiten.

Ist ein Zahl durch n teilbar ohne Rest?

Ganz einfach: Ja, wenn ihre Quersumme durch n teilbar ist.

Bsp:

n = 3

783 / n = ? (teilbar ohne Rest)

7 + 8 + 3 = 18

--> 18 / 3 = 6 (Ist teilbar!)

Also auch 783 / 3 = 261.

Ich kann eigentlich nicht richtig Kopfrechnen. Aber wenn man sich clever anstellt, kann man praktisch jede Aufgabe irgendwie vereinfachen.

Folgenden Trick kann man zwar praktisch nie anwenden, aber er gefällt mir.
Mit ihm kann man Zahlen, die auf 5 enden sehr schnell quadrieren.

bspw. 3535:
Das Resultat endet bei solchen Zahlen immer auf 25.
Die vorderen Zahlen bekommt man, in dem man die Zehnerzahl mit dem Nachfolger multipliziert.
Also: 3535 = .. 25 | .. = 3 * 4 = 12
also: 25² = 1225.

Das kann man bei anderen Zahlen sehr gut anwenden, zum beispiel 33 * 37 = 35² - 2² = 1225 - 4 = 1229.
Das ist wieder ein anderer Trick.

a * b = ((a + b) / 2)² - |a - b|².

Jetzt rein aus dem Kopf.

Aber mit solchen Tricks kann man sich das Kopfrechnen sehr gut vereinfachen.

mfg
SeeQuark

Hallo SeeQuark,

deine letzte Formel funktioniert nicht ...

m0rius

Ist ein Zahl durch n teilbar ohne Rest?
Ganz einfach: Ja, wenn ihre Quersumme durch n teilbar ist.

Aber nicht für alle 'n'.

Bei 2 klappt's nicht (QS von z.B. 23 ist 5)
Bei 3 klappt's.
Bei 5 nicht (QS von 25 ist 7).
Bei 6 auch nicht (QS von 12).
Bei 7 auch nicht. (QS von 49 ist 13)
...

Eigentlich also nur mit n=3.
Für die anderen gibt es ja andere Regeln - z.B. QS % 3 == 0 && letzte Ziffer gerade (nichts gegen meine Notation 😁 ) für 6 etc.

Oder mache ich etwas falsch?

Außerdem ist die Rechnung falsch

zum beispiel 33 * 37 = 35² - 2² = 1225 - 4 = 1229.

Hier hast du + statt Minus gerechnet, es muss 1225 - 4 = 1221 heißen,
Dann ist das ergebnis auch richtig 😉

Zitat von Joetempes:
Ist ein Zahl durch n teilbar ohne Rest?
Ganz einfach: Ja, wenn ihre Quersumme durch n teilbar ist.

Funktioniert nur bei zahl>n*10, zuverlässig, sonst nur glückstreffen.

Hallo winSharp93,

nein, es stimmt, was du sagst. Für die 3 gilt es so, wie Joetempes es sagt, für die 6 muss die Zahl zusätzlich gerade sein, für die 9 muss die Quersumme durch 9 teilbar sein, ...

m0rius

deine letzte Formel funktioniert nicht ...

Stimmt. Eigentlich ist es ja gar keine Formel.
Aber das, was ich hingeschrieben habe ist Quatsch.

bsp:
8 * 12 = (8 + 2) * (12 - 2) - 2² = 10² - 2² = 100 - 4 = 96 (ich hoffe, da ist diesmal kein Fehler drin)

Verallgemeintert wäre das dann IMHO so:
a * b = (a + c) * (a - c) - c²

Auch diesmal keine Garantie auf die Formel.

Jedenfalls kann das bei bestimmten Rechnungen helfen.

Eigentlich also nur mit n=3.

Jetzt mach das mal z.Bsp im Hexadezimalen Zahlensystem 😁

mfg
SeeQuark

Hallo SeeQuark,

Verallgemeintert wäre das dann IMHO so:
a * b = (a + c) * (a - c) - c²

... was schon wieder, zumindest so, wie es gerade dasteht, - sorry - Unsinn ist 😉.

Du meintest mit der Formel sicher a * b = (a + b) * (b - c) - c², so, wie du es oben schon geschrieben hast.
Multipliziert man die rechte Hälfte aus, erhält man ab - ac + bc - c² - c² und damit insgesatm ab = ab - ac + bc - 2c².
Subtrahieren wir ab, multiplizieren mit -1 und klammern c aus, ergibt sich c * (a - b + 2c) = 0.
Diese Gleichung ist für c = 0 lösbar - klar -, sonst aber nur, wenn a - b + 2c gleich 0 ist, was bei dir der Fall war (8 - 12 + 2 * 2 = 0). Für z.B. c = 3 stimmt deine Rechnung hingegen nicht!

m0rius

also die Formel von funktioniert, ist nur die Umwandlung in eine binomische Formel. Funktioniert allerdings nur, wenn die Summe der Zahlen gerade ist (also beide Summanden gerade oder beide ungerade sind), weil:

x * y = 1/4 * 4xy = 1/4 * (x² - y² + 4xy + y² - x²) = 1/4 * (x² + 2xy + y² - (x² -2xy + y²)) = 1/4 * ( (x+y)² - (x-y)²) = [(x+y)/2]² - [(x-y)/2]²

Und genau das wird gerechnet ^^

Bsp.: x = 8, y = 12

=> [(8+12)/2]² - [(8-12)/2]² = 10² - (-2)² = 10² - 2²

Man kann das auch anders sehen, und zwar gilt ja

a² - c² = (a+c) * (a-c)

D.h. man muss für die Faktoren x,y die Zahlen a,c so wählen, das gilt a+c=x und a-c=y
Wobei man dann schnell drauf kommt, dass a=(x+y)/2 ist und c = |x-y|/2 (was dann zu meiner obigen Rechnung führt).

Nächster "Trick" den bestimmt schon einige kennen. Für alle Zahlen gilt auch die "Kreuz-Methode":

Um z.B.

12 x 13 auszurechnen, funktioniert auch folgendes:

12
x 13
===

1. Ziffer: 1x1 1
2. Ziffer: 1x3+2x1 5
3. Ziffer: 2x3 6

oder noch eine Methode:

12
x 13
=====

Die erste Ziffer bleibt: 1
Die zweite Ziffer: 2+3
Die dritte Ziffer: 2*3

dies ist IMHO die schnellste Methode. Auch für Zahlen größer 10 funktioniert diese. Dann muss man aber die Ziffern nach entsprechenden Regeln mit den Zehnern multiplizieren.

Bsp.:

21
x 22
=====

Erste Ziffer bleibt: 2
Zweite Ziffer addieren (wie gehabt): 1+2
Dann das Ergebnis aus diesen beiden Ziffern mit den Zehnern malnehmen:

23 x 2 = 46

und die letzten Ziffern malnehmen: 1 x 2 = 2

also: 462

Cool dr4g0n76, den Trick kannte ich noch garnicht!

Edit: Aber wenn ich grad mal drüber nachdenk...das ist einfach nur logisch. (Okay, das sind eigentlich alle Tricks, nciht wahr?)

Noch etwas, was vielleicht nicht ganz so nützlich ist (wir können ja alle das Einmaleins, beziehungsweise eher zum schriftlichen Rechnen geeignet) aber wo es interessant ist, wie andere alte Völker(damit sind nicht die Russen gemeint) früher gerechnet haben, ohne einen Beweis für die Richtigkeit ihrer Methde zu haben. Für Leute
http://de.wikipedia.org/wiki/Russische_Bauernmultiplikation
und weiterführend
http://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4re_Exponentiation
für Programierer wohl besonnders interessant.

@Mentor49: Danke. Aber es gibt noch viele.

Brüche:

1           4                       1 x 5 + 4 x 3
-    +     -              =       ----------------
3           5                             3 x 5

EDIT: Formatierung hat nach Abspeichern nicht mehr gepasst.

Kapiert? Einfach über Kreuz multiplizieren für die Summe oben.
Unten werden einfach die Nenner multipliziert.

Ergebnis:

17
__
15

ist das nicht genau die methode wie es in der schule gelehrt wird ? glaube mich zu erinnern

Ja, bin auch leicht verwundert. So habe ich schriftliches Multiplizieren / Dividieren / Bruchrechnen gelernt...

LaTino

@La Tino und Mr. Evil:

Vermutlich habt ihr wohl eher gelernt die Nenner entsprechend zu erweitern (also zuerst unten) und dann oben. Also mind. noch 2 Schritte mehr auszuführen.

Öhm, nein. Erweitern kam später. Das da nannte sich "Kreuz-Mal-Nehmen" und kam vor dem Geraffel mit "20/15 ist keine Zahl" (-> 4/3 ist eine), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler.

LaTino

Also ich bin in der Schule 😁

Und uns wurde beigebracht, zu versuchen einen gemeinsamen Nenner zu finden. Wenn einem keiner auf Anhieb einfällt, benutzt man das Kreuzmultiplizieren, welches eigendlich einfach eine Form des erweiterns ist.

Gruß pdelvo

Ist ein Zahl durch n teilbar ohne Rest?

Ganz einfach: Ja, wenn ihre Quersumme durch n teilbar ist.

Bsp:

n = 3

783 / n = ? (teilbar ohne Rest)

7 + 8 + 3 = 18

--> 18 / 3 = 6 (Ist teilbar!)

Also auch 783 / 3 = 261.

Funktioniert aber nur bei bestimmten Teilern (genau 3 und 9). Für die zwei gilt diese Regel nicht:

n=22
31 / n = ?
3+1 = 4 --> ist durch 2 teilbar.

Aber 31 / 2 ist 15,5

Hier mal eine Übersicht zu den Teilbarkeitsregeln, hab ich gerade im Netz gefunden:

• 2, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, sonst nicht,

• 5, wenn ihre letzte Ziffer ein 0 oder 5 ist,

• 10, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist,

• 3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist,

• 9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist,

• 4, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 4 teilbar ist,

• 25, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 25 teilbar ist,

• 8, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 8 teilbar ist,

• 125, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 125 teilbar ist.

(Hoffe das Thema hat jetzt nicht schon jemd. aufgegriffen, hab nämlich noch nicht alle Beiträge durchgelesen)

Beste Grüße

Teilbarkeitsregeln? Das ist doch schon wieder Schulstoff?! Klasse 3 oder so?

Teilbarkeit durch 19:

Spaltet die Zahl auf in ihre letzte Ziffer und eine Zahl, die aus den restlichen Ziffern besteht:

46.873 -> 
  a = 4687 
  b = 3

46873 ist durch 19 teilbar, wenn a + 2b durch 19 teilbar. Also:

  4687  + 2*3 = 4693
  Durch 19 teilbar? Schritt 1 wieder: 4693 => 469 und 3
  => 469 + 2*3 = 475
  Durch 19 teilbar? Schritt 1 wieder: 475 => 47 und 5
  => 47 + 2*5 = 57
  57 ist durch 19 teilbar => 475 % 19 = 0 => 4693 % 19 = 0 => 46873 % 19 = 0

Einfache, saubere Regel 😃.

LaTino

Durch 5 teilen:

Bsp.:

125

Ich nehme den vorderen Teil 12 mit 2 mal (24) und NUR dann wenn hinten eine 5 steht, zähle ich 1 dazu.

125 / 5 also: 12 * 2 + 1, Probe: 25 * 5 = 125

Funktioniert das auch mit größeren Zahlen?

Bsp.:

4235 / 5 also: 846 + 1 = 847 Probe: 847 * 5 = 4235

EDIT: Man sollte einen Post erst zu Ende lesen bevor man antwortet ^^ Interessante Methode, mal gucken, wie sich das verallgemeinern lässt.

1 / 19 berechnen (gilt ebenso entsprechend für 1 / 29, 1 / 39 usw.):

1 / 19 normalerweise:

95 und wir erhalten: 0.5263157894736842...
__
50
38
__
120
114

60
57
__
30
19
__
110
95
__
150
133

170
152

180
171

90
76

neue Methode:

wir teilen jede Zahl durch 2 und stellen den Rest vor die zuletzt berechnete Ziffer:

also, let's do it:

1 / 2 gibt 0 Rest 1, wir stellen die 1 vorne hin und rechnen als nächstes 10 / 2 = 5 Rest 0 und so teilen wir weiter:

1 / 19

=

0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...
 1  1       1 1 1 1         1    1 1       1     1      1

EDIT: Formatierung sah nach dem abspeichern anders aus wie im Editor

das ist alles was wir uns notieren. mit ein paar Minuten Übung kann man das Ergebnis aus dem Kopf hinschreiben.

Große Zahlen quadrieren, z.B.

9980²

9980 - 20 (auf Tausend ergänzen und dann über Kreuz sub., als 9980 - 20 = 9960
9980 - 20
======
9960 ≤ vorderer Teil

hinterer Teil; 20*20 = 400, da beide Teile gleichviel Ziffern haben müssen, noch eine 0

Also 9960 0400

Noch ein Beispiel?

99991² =

Vorn:
99982

Hinten:
00 081

Ergebnis: 9 998 200 081

EDIT: Vorteil, diese Methode kann man ganz einfach auch im Kopf rechnen.

Hallo zusammen,

besonders interessant ist auch wie die Chinesen multiplizieren.
Dabei werden Striche auf ein Blatt gemalen. Dann werden die Schnittpunkte gezählt und das ist das Ergebnis.
Klingt kompliziert, es ist aber relativ einleuchtend 😃

Siehe: http://www.youtube.com/watch?v=mY2q_x9MPqw

Das könnte sicherlich auch für das Kopfrechen hilfreich sein. Oder auf dem Blatt ist das nicht schlecht 😃

Gruss
Michael

Interessantes zum Thema Teilbarkeit...
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit

gruß
sth_Weird

So kann man die Wurzel aus x ziehen:

a := 0.5*(a + x/a)

Die Variable a ist ein Näherungswert für die Wurzel aus x, der bei jedem Berechnen der Gleichung immer genauer wird. Den Trick habe ich gestern gelesen.

Für den der (noch viel) mehr wissen möchte:

Vedic Mathematics