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Integralrechnung - grundlegende Verständnisprobleme

Erstellt von ANSI_code vor 15 Jahren Letzter Beitrag vor 15 Jahren 11.228 Views
ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren
Integralrechnung - grundlegende Verständnisprobleme

Ich wollte mich nicht extra in einem anderen Forum anmelden, um das zu fragen. Ich könnt mir das doch sicher auch etwas erklären.
Ich bin erst 8-klässler, und habe diese Sachen eigentlich nicht nötig, aber an vielen Stellen, zb. in Wikipedia, kommen diese Dinger einfach vor.

Was ich weiß: eie Intergral beginnt mit diesem Schnörkelzeichen, bei dem oben und unten die Grenzen stehen. dann kommt aus mir unerklärlichen Gründen ein d, und die Variable gefolgt von der Funktion, die diese benutzt. Das Beschreibt die durch die Grenzen, die Funktion und die X-Achse definierte Fläche. Der Kram mit den vielen unbekannten, und Volumina interessiert mich jetzt erstmal nicht.

Alles schön und gut, ich kann mir auch vorstellen, wozu man es braucht. Jetzt kommts: das Beispiel im Wikipediaartikel:Beispiel für den Integralbegriff in der Physik (Wikipedialink)

Das verstehe ich beim besten Willen nicht - na ja, man kann auch ohne diesen konkreten Fall leben, ich wundere mich nur etwas, dass die Strecke, die ein fallender Körper in der Zeit T zurücklegt gleich der Integration der Funktion gt(FallbeschleunigungZeit) über die Zeit ist.

g ist eine Beschleunigung, also Einheit m/s²; Einheit der Zeit ist s
die Integrierte Fläche müsste meiner Ansicht nach demnach die Einheit m/s haben, oder habe ich das falsch verstanden?

Kann mir das jemand erklären? Wäre euch sehr dankbar.

J
257 Beiträge seit 2008
vor 15 Jahren

Was ich weiß: eie Intergral beginnt mit diesem Schnörkelzeichen, bei dem oben und unten die Grenzen stehen. dann kommt aus mir unerklärlichen Gründen ein d[..]

Das Zeichen, das hinter dem d steht, gibt die Variable in deiner Funktion an. Das Integral wird so geschrieben: [Integralzeichen mit Grenzen] [Funktion] [d Variable]

Alles schön und gut, ich kann mir auch vorstellen, wozu man es braucht. Jetzt kommts: das Beispiel im Wikipediaartikel:Beispiel für den Integralbegriff in der Physik (
>
)

Das verstehe ich beim besten Willen nicht - na ja, man kann auch ohne diesen konkreten Fall leben, ich wundere mich nur etwas, dass die Strecke, die ein fallender Körper in der Zeit T zurücklegt gleich der Integration der Funktion gt(FallbeschleunigungZeit) über die Zeit ist.

g ist eine Beschleunigung, also Einheit m/s²; Einheit der Zeit ist s
die Integrierte Fläche müsste meiner Ansicht nach demnach die Einheit m/s haben, oder habe ich das falsch verstanden?

Wenn du die Strecke, die ein Objekt während eines Falls zurückgelegt integrieren willst, muss Meter und nicht m/s rauskommen. Das wäre ja die Geschwindigkeit.

Gruß

Q
214 Beiträge seit 2006
vor 15 Jahren

Hallo,
naja man kann die Integration als die Umkehrung der Differentialrechnung (Ableiten/Steigung bestimmen) betrachten.

Wenn du z.B. 100 Meter in 10 Sek. zurückgelegt hast, sind dies 10 Meter/Sek. (Dies wäre ableiten).

Integration macht dies genau anders herum:
Du legst 10 Meter/Sek (ohne Beschleunigung etc.) zurück und dies machst du 10 Sekunden lang.
Also hast du 100 Meter zurückgelegt.

Oder als Integral geschrieben (jetzt kommen meine ASCII Art skills raus):


    10
   /
  | 10 dt  = 100 
 /
0

Hier taucht kein t auf, da deine Geschwindigkeit ja nicht von der Zeit abhängt.

Nun geht mal zum gleichmäßig beschleunigten Fall vor, z.B. dem freien Fall:
Deine Geschwindigkeit ist dort ja zum Zeitpunkt t: g*t.
Wenn man nun wissen möchte, welche Strecke man in 10 Sekunden zurückgelegt hat man eben:


    10
   /
  | g * t dt  = 0,5*g*10^2
 /
0

Sonst:
Das dt steht für 'delta t', also die Differenz von t. Da t für deine Zeit steht, also Sekunden, integriert man nach 'delta Sekunden'.
Wenn man nun im Integral die Einheit m/s hat und man nach 'delta Sekunden' integriert, bleibt noch m über.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

stimmt. Ich habe da vorhin irgendwas verwechselt. Jetzt verstehe ichs. Vielen Dank (an euch beide)

390 Beiträge seit 2008
vor 15 Jahren

Wenn Du die Beschleunigung (g*t) (m/s^2) integrierst, hast du erst die Geschwindigkeit (m/s), wenn Du diese dann nochmals integrierst, hast Du die Strecke (m).

using Skill

J
1.114 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Ein vielleicht noch anderes Beispiel, das besser klar macht, was dieses "d" im Integral bedeutet.

Stell dir vor, du muss die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ausrechnen. Das einzige, das du kennst, ist der Umfang des Kreises U=2Pir.

Nun, jetzt kannst du dir einen kleinen schmalen Ring vorstellen, mit der Dicke Delta_r. Wenn diese Dicke jetzt infinitesimal klein wird, schreibt man dazu nicht mehr Delta_r sondern kurz dr.
Also: Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang 2Pir
Ein Ring mit der Dicke dr dazu, hat dann die Fläche 2Pir*dr.

Das sollte soweit klar klein.
Beim Integrieren addierst du nun zu dieser ersten Fläche den nächsten Ring mit Radius 2Pi(r+dr) dazu, bastelst dir wieder einen Ring mit der Dicke dr und addierst die Fläche zu deiner ersten Fläche hinzu... Das Ganze unendlich mal, weil ja schliesslich die Dicke des Ringes infinitesimal klein ist.

Die fette Formel oben, ist das was du brauchst, um in die Integralrechnung einfliessen zu lassen.
Ein Kreis mit Radius R hat dann folgende Fläche (aufaddieren von lauter kleinen Ringen):


I(r=0 bis r=R) [ 2*Pi*r*dr ]

Die Integralrechnung lernt uns, dass sich das zu

Pi*R^2

ergibt.

Du hast die Fläche des Kreises.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

@Jelly das habe ich nicht kappiert.

übrigens ist mir das von Vorhin offenbar immernoch nicht klar.

Wenn Du die Beschleunigung (g*t) (m/s^2) integrierst, hast du erst die Geschwindigkeit (m/s), wenn Du diese dann nochmals integrierst, hast Du die Strecke (m).

moment... da wird aber nur einmal integriert...
Also: Im Endefekt ist das Ergebnis der einen Integralen die Fläche unter dem Graphen(begrurck x achse und Grenzen) in einem a(g ist eine Beschleunigung)-t Diagramm.
ASCII Art:


a in m/s²
|
|
|-g__________________________
|ggggggggggggggggggggg|
|ggggggggggggggggggggg|
|ggggggggggggggggggggg|
|ggggggggggggggggggggg|
|_____________________|________ t in s
0                     |  
                     T

die untere Zeile konnte ich nicht vollmachen, wegen den Unterstrichen.
Die g-Fläche müsste das Ergebnis sein, errechnet sich zu T*g und ha die Einheit m/s - Größe v.
Wo ist da eine nochmalige Integration?

5.657 Beiträge seit 2006
vor 15 Jahren

Die g-Fläche müsste das Ergebnis sein, errechnet sich zu T*g und ha die Einheit m/s - Größe v.
Wo ist da eine nochmalige Integration?

Die Fläche wird ja auch durch eine Funktion repräsentiert. Diese kannst du wieder integrieren, dann sollte als Einheit m rauskommen. Ich denke, so war das gemeint.

Weeks of programming can save you hours of planning

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

soll man sich dabei etwa "intigriere einfach nochmal" dazudenken? Ist das bei allen intergalen so?

3.003 Beiträge seit 2006
vor 15 Jahren

Nein, war vielleicht nur unglücklich ausgedrückt. Integration hilft dir, für bekannte Funktionen - in deinem Fall Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit - die Fläche unter dieser Funktion zu bestimmen. Denk dir mal das Integral weg und geh von einer konstanten Beschleunigung aus. Waagerechte Linie also.

Dann kannst du, wenn dir bekannt ist, wo das Zeitintervall beginnt, und wo es endet, was ausrechnen? Die Fläche unter der "Kurve" ist ein Rechteck, also Breite mal Höhe: Beschleunigung a sei 5 (m/s²), Intervallbeginn bei 0, Ende bei 10, also f(a=10) * 10 - f(a=0) * 0 = 5 (m/s²) * 10 (s) - 0 = 50. Welche Bedeutung hat diese Zahl?

Sie ist die Summe der Änderungen des Tempos zwischen Start und Ende des Intervalls. Man hat in 10 Sekunden bei 5 m/s² also um 50 m/s beschleunigt. Nicht sehr spannend.

Spannender ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit. Integriert man die, erhält man die Summe der Änderungen des Wegs zwischen Start und Ende des Integrals. Mit anderen Worten, die zurückgelegte Strecke. Wenn du dir nun eine nichtlineare Funktion denkst, für die du nicht so einfache Rechteckberechnungen machen kannst - dann weisst du, wozu Integrale gut sind. Sie bilden die Summe der Fläche unendlich vieler, unendlich schmaler Rechtecke, die jeweils unter der Kurve stehen.

Gruß,

LaTino
EDIT: die Jungs in der Wikipedia integrieren nicht die Beschleunigung nach der Zeit. Schau hin: sie haben die Funktion v(t) = 9.81*t, und die wird integriert: also die Geschwindigkeit nach der Zeit, wobei die Wegstrecke herauskommt.
EDIT2: das Beispiel in WP ist ehrlich gesagt etwas dämlich. Kein normaler Mensch würde bei einer linearen Funktion integrieren. Die Fläche unter dem Ding ist einfach ein Dreieck, noch dazu ein rechtwinkliges.

"Furlow, is it always about money?"
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"Don't know. I haven't maxed out yet."
(Furlow & Crichton, Farscape)

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

jetzt glaube ich zum dritten Mal, dass ich´s kappiert habe... mich hat offenbar verwirrt, dass die die Funktion gleich ins Integrale geschrieben haben. v(t), ja... Wirklich großer Dank für eure Geduld.

3.003 Beiträge seit 2006
vor 15 Jahren

Schöneres Beispiel wäre folgendes: Man nehme sich die Aufzeichnungen eines Formel1-Wagens während des Rennens. Dort ist akribisch verzeichnet, wie schnell das Auto jederzeit war. Naja, fast jederzeit. Jedenfalls hat man genug Punkte, um eine Funktion der Geschwindigkeit über die Rennzeit bilden zu können. Eine sehr lange, komplexe Funktion. Blöderweise ist der Entfernungsmesser ausgefallen, aber man will trotzdem den Durchschnittsverbrauch des Flitzers wissen - was verbraucht wurde, weiss man ja. Also benötigt man noch irgendwie die zurückgelegte Strecke. Jetzt könnte man für jedes Zeitintervall, indem der Fahrer gleichmäßig beschleunigt hat, eine lineare Geschwindigkeitsfunktion aufmalen und die Strecke ausrechnen, wie im Beispiel oben. Da diese Abschnitte konstanter Beschleunigung aber immer sehr kurz sind, wäre das eine Lebensaufgabe. Irgendwer schnappt sich also die Funktion, integriert sie, und fertig.

So kann man sogar die zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten des Rennens zurückgelegte Strecke ausrechnen.

Gruß,

LaTino

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J
1.114 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Schöneres Beispiel wäre folgendes: Man nehme sich die Aufzeichnungen eines Formel1-Wagens während des Rennens. Dort ist akribisch verzeichnet, wie schnell das Auto jederzeit war.

Hab noch ein besseres:
Mit dieser Uhr kannst du auslesen, wieviel km du gejoggt bist. Das Prinzip beruht auf einen Beschleunigkeitssensor, den du am Schuh trägst. Er misst x mal in der Sekunde die Beschleunigung des Fusses. Aus oben genanntem hast du ja verstanden, dass das Integrieren der Beschleunigung die Geschwindigkeit ergibt. In diesem Beispiel ist die Beschleunigung nicht konstant, und dadurch die Geschwingkeit nicht so einfach zu a*t zu errechnen. Es ändert sich aber nichts an der Tatsache, dass das Integral der Beschleunigung über die Zeit die Geschwingkeitskurve ergibt.

Und das Integral der Geschwindigkeitsfunktion wiederrum über die Zeit erbigt die zurückgelegte Strecke. 2-faches Integrieren der Beschleunigung nach der Zeit ergibt in der Tat die zurückgelegte Strecke. (Umgekehrt: Zweifaches differenzieren der Ortsfunktion^ergibt zuerst die GHeschwingkeit, und dann die Beschleunigung... also genau umgekehrt).

Die besagte Uhr macht nichts anderes, als das 2fache Integral auszurechnen.. (Wenn auch nicht analytisch, d.h. in form einer Form, sondern numerisch, weil die Beschleunigungsfunktion zu komplex geworden ist. Aber dennoch: es ist das 2-fache Integral das dir die zurückgelegte Strecke liefert.

btw. Integrieren ist wohl das meistgebrauchte mathematische Konstrukt in der Physik, das überall angewandt wird. Und das nicht nur bei Bewegungsabläufen. Du triffst es auch überall im Elektromagnetismus, in der Thermodynamik und auch in der Atom- und Molekularphysik.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

in der Physink wird meißt über die Zeit integriert oder? kann mir jemad ein anders Beispiel nennen?

1.361 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Es wird auch oft nach dem Weg integriert.

Ich sag nur Arbeit. Für konstante Kraft gilt ja W=F*s (Kraft mal Weg) Aber wenn die Kraft variiert, dann muss integriert werden.
Oder die Potentielle Energie.
Dort muss auch beispielsweise im Gravitationsfeld entlang eines Weges integriert werden.

J
1.114 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Dort muss auch beispielsweise im Gravitationsfeld entlang eines Weges integriert werden.

Wobei im Gravitationsfeld der Weg unabhängig ist, und die Arbeit nur von der Potentialdifferen abhängt!!! Integrieren muss man dort also nicht wirklich, es sei denn man berücksichtigt Reibung u.ä. Dann wirds aber gleich viel komplizierter.

In der Physik tauchen ganz oft Differentialgleichungen auf (z.b. harmonischer Oszillator, bei dem die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist, d.h je stärker ich eine Feder ziehe, dest stärker wird die Rückstellkraft). Bei all diesen Differentialgleichungen kommt man um die Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung nicht drumrum.

M
194 Beiträge seit 2008
vor 15 Jahren

In der Physik tauchen ganz oft Differentialgleichungen auf

Das stimmt, alle dynamischen Vorgänge (Energiespeicher werden gefüllt und entladen) werden mit Differentialglg. beschrieben. Dlgs lassen sich für die Berechnung mit dem PC unter Vorraussetzung einer festen Abtastzeit in Differenzengleichungen umwandeln. Bei der ganzen Sache muss nur beachtet werden, dass du das Abtasttheorem nicht verletzt, d.h. die Abtastzeit sollte mindestens die Hälfte, besser ein zehntel, der kleinsten Zeitkonstante betragen.

"Indem Sie über dieses ernste Thema lachen disqualifizieren Sie sich selbst."
mrleeh.de

1.361 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Wobei im Gravitationsfeld der Weg unabhängig ist, und die Arbeit nur von der Potentialdifferen abhängt!!! Integrieren muss man dort also nicht wirklich, es sei denn man berücksichtigt Reibung u.ä. Dann wirds aber gleich viel komplizierter.

Preisfrage: Gegeben sei das Gravitationsfeld...wie bestimmt man denn die Werte im Potentialfeld? 🤔

Integrieren muss man dort also wirklich =)

(Dass man mit den Integralgrenzen dann wie folgt "Integral(a,b) = Integral(c,b) - Integral(c,a)" rechnen kann, ist ja bloß ein zusätzliches Schmankerl und ermöglicht dir erst, die Potentialdifferenzen zu verwenden.)

beste Grüße
zommi

J
1.114 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

(Dass man mit den Integralgrenzen dann wie folgt "Integral(a,b) = Integral(c,b) - Integral(c,a)" rechnen kann, ist ja bloß ein zusätzliches Schmankerl und ermöglicht dir erst, die Potentialdifferenzen zu verwenden.)

Nein, das ist eine mathematische Eigenschaft der Integralrechnung, und gilt nicht nur fèr Gravitationsfelder.

Der Umstand, dass im Gravitationsfeld die Arbeit nur von Potentialdifferenz abhängt liegt daran, dass es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt, d.h. es gibt zum Beispiel keine Wirbel (Mathematisch gesprochen gilt dass die Rotation des Kraftfeldes gleich 0 ist). Es gibt durchaus auch nicht konservative Kraftfelder (z.B. Magnetfeld). Aber Gravitationsfelder und z.b. elektrisches Feld verhalten sich konservativ, und die Arbeit ist demnach nur von der Potentialdifferenz abhängig.

1.361 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Klar, mathematischer Natur, trotzdem ist es ein Schmankerl der Integral/Differential-theorie. (Da es sich eben erst ergibt und nicht irgendwie axiomatisch definiert wird)

Bloß normalerweise geht man ja vom Kraftfeld aus.
Man geht vom newtonschen Gravitationsgesetz aus, definiert sich so das vektorielle Kraftfeld.

Um NUN kann man durch lösen einer Differentialgleichung (also... was? 😁 genau integrieren) das Potentialfeld bestimmen und durch Berechnung von Potentialdifferenzen die Änderung der potentiellen Energie bestimmen.

Oder aber man integriert gleich über den Weg. Dass der genaue Verlauf des Weges hierbei irrelevant ist, liegt an der von dir angesprochenen konservativität des Feldes. (sonst könnten wir ja auch kein Potentialfeld bestimmen - Das ist ja auch eine Definition für ein konservaties Kraftfeld: Wenn ein Potential existiert)
Trotzdem muss man über den Weg integrieren 🙂

beste Grüße
zommi

J
1.114 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

Um NUN kann man durch lösen einer Differentialgleichung (also... was? 😄 genau integrieren) das Potentialfeld bestimmen und durch Berechnung von Potentialdifferenzen die Änderung der potentiellen Energie bestimmen.

Das Potentialfeld ist letzen Endes nur ein Konstrukt, um einige Berechnungenin der Physik einfacher zu gestalten. Du hast Recht, und ich habs ja auch schon geschrieben, dass man erstmal empirisch ein Kraftfeld misst und mathematisch beschreibt.

Und dann DEFINIERT der Physiker einfach Folgendes:
F(r) = - Nabla(Phi)

d.h., das Kraftfeld entspricht einer Richtungsänderung eines skalaren Feldes Phi genannt.

Mehr ist das erstmal nicht. Natürlich ist das eine DGl, und nur durch Integralrechnung zu lösen. Und durch Umformen der Gleichung stellt man beispielsweise in der Gravitation fest, dass Phi=mgh wird, und Gravitationspotential genannt wird.

Ich glaub wir sind beide gleicher Meinung, und ich will auch keinesfalls klugscheisserich rüber kommen. Vielleicht lesen ja noch weitere hier den Thread und gewinnen an Erkenntnis. Man könnte das Thema in der Tat hier noch sehr breit treten.

Übrigens, auch für elektrische Kräfte gibt es die DEFINIERTE Gleichung. Und weil die elektr. Kraft wie die Graviationskraft proportional zu 1/r^2 ist, ist natürlich auch ein ähnliches Potential zu erwarten. Dort nennt man die Differenz dann aus 2 Potentialen dann Spannung, in der Gravitationstheorie Arbeit.

Trotzdem muss man über den Weg integrieren 😃

Jo, richtig. Aber nur wenn man die Arbeit sieht als W=Integral(F*dr). Wegen der Konservität vereinfacht sich das aber schnell zu W=mgh (h = Höhendifferenz, also nur eine Komponente des dr-Vektors in z-Richtung). Da sieht man dann also den Sinn der oben DEFINIERTEN Gleichung. Gewisse Dinge werden dadurch wesentlich einfacher.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

gut, jetzt verstehe ich fast nichts mehr. Die Differentialrechnung erst recht nicht(scheint schwerer zu sein).

F
240 Beiträge seit 2006
vor 15 Jahren

Normalerweise fängst du mit der Differentialrechnung an, da die Integralrechnung mehr oder minder darauf aufbaut. Ich hab das aktuell in der Schule (12. Jahrgang), und ich versteh die Theorie, und vl die Anwendung zum Teil (in Sachen Flächen/Volumenberechnung von Funktionen) aber wie das sonst alles zusammenhängt...

Mach dir nichts draus, es ist einfach höhere Mathematik.

265 Beiträge seit 2006
vor 15 Jahren

Ich studiere im 1. Semester Physik an der TU München und hatte heute Prüfung... jap das ist echt nicht leicht und so Sachen wie Nabla (Zeichen: ein umgedrehtes Dreieck; steht für partielle Ableitung nach dem Ort) sind für einen Achtklässler noch eine Stufe zu hoch...
Das hier ist aus einer Übung "Mathematische Ergänzung zur Experimentalphysik 1". Mich würde es wundern, wenn von 250 Erstsemester-Studenten das 30 wirklich verstehen... diese Anwendungen sind höhere Mathematik 😉

-=MasterMax=-

6.862 Beiträge seit 2003
vor 15 Jahren

Ich find grad bei der Integralrechnung sollte man net verzweifeln, ein Satz in der Einleitung des entsprechenden Wikipedia Artikels triffts ganz gut:

Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder Benutzung spezieller Computer-Software. Es ist nicht immer möglich Funktionen zu integrieren, desweiteren hab ich zumindet des Gefühl dass ich während meines Studiums mehr differenziert als integriert hab.
Und das ist leichter falls da wirklich fertige Methoden gibt wie man jede Funktion differenzieren kann.

Differenzialgleichungen scheinen nur in der Schule wenn man sie einführt kompliziert weil man da für die verschiedenen Formen, verschiedene Lösungsverfahren lernt. Im Studium kommt man irgendwann zu Funktionstransformationen und rechnet wieder nur + und - und am Ende löst man nach Schulmathematik höllisch schwere Differentialgleichungen mit einfachster Algebra. Mathematik ist eh relativ einfach find ich, da es vollkommen formalisiert ist und man im Prinzip beliebig schwere Aufgabenstellungen mit den gleichen Schritten löst wie einfachste Aufgaben. Man brauch nur Geduld und muss wissen was man anwenden muss, dann ist jede Aufgabe gut machbar find ich.

Baka wa shinanakya naoranai.

Mein XING Profil.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

@MasterMax der Link ist ungültig.
tja, dann muss ich damit wohl noch warten. Schade.
Ärgert mich: Integralrechnung war ja nicht mal so schwer, und jetzt kommen da umgedrehte delta-Zeichen...

edit: ich glaub, so leicht geb ich noch nicht auf. Mal sehen was eine Ableitung ist, vielleicht kappiere ich das ja zumindest.

so wie ich das verstehe ist es eine Methode, die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu ermitteln.

welche Bedeutung hat in der Einführung vom Wikipediaartikel(Link die variable x0?(0 als Index?)
einfach frei gewählt?

warum ist die Ableitung von x² an jeder Stelle 2x?

6.862 Beiträge seit 2003
vor 15 Jahren

warum ist die Ableitung von x² an jeder Stelle 2x?

Also x0 ist einfach nur ein Wert x der benutzt wird um eine bestimmte Stelle zu kennzeichnen.

Zudem Warum die Ableitung von x² 2x ist, schau dir mal des Beispiel für die elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion an auf der Wikiseite. Die Funktion ist da zwar sogar umfangreicher aber des Schema sollte erkennbar sein. Du setzt im Prinzip deine Funktion x² in die Gleichung zur Berechnung des Differenzenschemas ein, und am Ende bildest den Grenzwert, sprich was passiert wenn man delta x gegen 0 gehen lässt.

Baka wa shinanakya naoranai.

Mein XING Profil.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

ich verstehe die Berechnung der Steigung an einem bestimmten Punkt, aber die Zusammenfassung der Steigungen an allen Stellen müsste doch eigentlich wieder dieselbe Funktion ergeben(translation weggedacht), oder habe ich das falsch verstanden, oder was wird bei der Ableitung einer Funktion gemacht?

ich verstehe das so, dass an beliebiger Stelle von X² die Steigung dann 2 sein soll, was ja nciht der Fall ist. Was tut man bei der Berechnung der Ableitung? Durchscnittssteigung ausrechnen?

jetzt verstehe ich immerhin den Rechenweg, aber immernoch nicht die Bedeutung des Ergebnises

den Fundamentalsatz verstehe ich auch nicht ganz, vor allem wie man darauf Kommt.

L
416 Beiträge seit 2008
vor 15 Jahren

ich verstehe das so, dass an beliebiger Stelle von X² die Steigung dann 2 sein soll, was ja nciht der Fall ist. Was tut man bei der Berechnung der Ableitung? Durchscnittssteigung ausrechnen?

Die Ableitung von x² ist 2x. Das ist die Steigung der Tangente im Punkt x. Die Steigung ist in diesem Fall das doppelte von x also an jedem Punkt unterschiedlich.
Ich denke dir würde es helfen dir mal die 2 Funktionen in einem Graphen vorzustellen (oder zu zeichnen). Dann siehst du das die Ableitung (in diesem Fall eine Gerade durch den Ursprung) an der Stelle x als Funktionswert die Steigung der Parabel hat.

J
1.114 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

ich verstehe das so, dass an beliebiger Stelle von X² die Steigung dann 2 sein soll, was ja nciht der Fall ist. Was tut man bei der Berechnung der Ableitung? Durchscnittssteigung ausrechnen?

Nein, nicht Durchschnitt, sondern für ein gegebenes x. Die Ableitung selbst ist also wieder eine Funktion von x.

Bleiben wir mal bei der Parabel. Zeichne sie dir mal händisch auf ein Blatt Papier, und piks dir einen beliebigen Punkt der Parabel heraus (zur Anschauen am besten ein x = 0). Zu diesem Punkt x gehts du jetzt ein Kästchen auf deinem Blatt Papier nach rechts, und nennst dieses Stück dann Delta_x. Jetzt bewegst du dich nach oben auf der y-Achse bis du wieder zu einem Punkt der Parabel gelangst. Dieses Stückchen nennst du Delta_y. (Du wirst merken, je weiter rechts du diese an der Parabel durchführst, dass für gleichese Delta_x (ein Kästchen), dein Delta_y immer grösser wird).

Du hast jetzt geometrisch 2 Grössen, Delta_y und Delta_x. Verbinde beide Punkte der Parabel, mit dem Punkt horizontal neben deinem ersten Punkt, und du erhälts eine rechtwinkliges Dreieck. Und die Steigung, und jetzt kommt das Wesentliche, der Hypotenuse, ist nichts weiter als Delta_y/Delta_x, und beschreibt im Groben die Änderung von y bezüglich einer Veränderung von x.

Du bist schon fast fertig mit ableiten, denn du brauchst letztlich nichts weiter machen, also dein Delta_x unendlich klein werden zu lassen. Dadurch wird dein Delta_y natürlich auch immer kleiner, und auch unendlich klein. In diesem Falle redet nennt man diese unendlich kleinen Stückchen nur noch dx und dy, und das Verhältnis Delta_y/Delta_x wird zu dy/dx, und nennt sich Ableitung.

Und so kommt man auf die Formel, dass die Ableitung von x^2 eben 2x ist.

dy/dx = (y2-y1)/(x2-x1) = (x2^2-x1^2)/(x2-x1) = [ (x2-x1)*(x2+x1) ] / (x2-x1)
 = x2+x1 

Und da x2 = x1+dx ist

dy/dx = x1+dx+x1 

und da dx unendlich klein wird, also nahezu null, bleibt:

dy/dx = x1+x1  

also ist die Ableitung der Funktion x2 gleich:
**f'(x
2) = 2x**

That's all.

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

aber die Steigung der Parabel ist doch überall unterschiedlich! Ist die Ableitung f'(x) der Funktion f(x)dann eine Funktion von x, die die Steigung am Punkt P(x|f(x)) berechnet?
Angenommen
f(x)=X² F'(x)=2x
f(5)=25
f'(5)=10
ist die Steigung am Punkt (5|25) gleich 10?

49.485 Beiträge seit 2005
vor 15 Jahren

Hallo ANSI_code,

alles korrekt.

herbivore

ANSI_code Themenstarter:in
467 Beiträge seit 2007
vor 15 Jahren

dann habe ich das sogar kappiert. Klasse.
Jetzt kommt noch die Physik (wie kann man etwas "nach" etwas differenzieren?)
und der Fundamentalsatz, wobei ich den dann wahrscheinlich nicht kappieren werde. Wist je ein sehr schöner und interessanter Satz, aber wie leitet man den her?

49.485 Beiträge seit 2005
vor 15 Jahren

Hallo ANSI_code,

bei der Differenzierung von f(X)=X² bildest du die Differenzen der X-Werte und schaust, wie sich die Differenz der Y-Werte dazu verhält. Du hast also nach X differenziert. Richtig interessant wird es erst, wenn du eine Funktion mit mehr als eine Variablen hast. Hat sie nur eine, kannst du auch nur danach differenzieren.

Oder du hast mehrere Funktionen für den gleichen Vorgang (Geschwindigkeit-Zeit-Funktion, Weg-Zeit-Funktion, Geschwindigkeit-Weg-Funktion). Auch da musst du dann sagen was du nach was differenzieren willst.

herbivore